53. Maximum Subarray

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+# 53. Maximum Subarray
+- 問題: https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/
+- 言語: Python
+
+- おおよそ15分以内に解答する
+
+## Step1
+- subarrayなので要素は連続している
+  - 最初、順不同（組合せ）と勘違いしていた
+- 候補となるsubarrayを取得するwindowを考え、その大きさを元の配列の大きさまでインクリメントしていき、window内の要素の合計を候補の最大値とする
+- 同じ部分和の計算を何度も実行しているので、これを解消してTLEを回避したいが15分経っていたので正答を見る
+
+### TLEとなるコード
+```py
+class Solution:
+    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
+        if len(nums) == 1:
+            return nums[0]
+
+        window_size = 1
+        start = 0
+        end = 0
+        result = min(nums)
+        while window_size <= len(nums):
+            result = max(result, sum(nums[start:end+1]))
+            if end == len(nums) - 1:
+                start = 0
+                end = window_size
+                window_size += 1
+            else:
+                start += 1
+                end += 1
+
+        return result
+```
+- 時間計算量: $O(n^{3})$ っぽいので、 $10^{4}$ あたりになるとTLE
+
+### 正答
+- ある時点までで最大の連続和を更新していく
+- Kadane法というらしい
+  - SWEの常識に入る？
+    - > 名前がついている上に常識に入っていない程度のもの
+      - cf. https://discord.com/channels/1084280443945353267/1206101582861697046/1207405733667410051
+- 時間計算量: $O(n)$
+
+```py
+class Solution:
+    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
+        current_sum = nums[0]
+        max_sum = nums[0]
+
+        for num in nums[1:]:
+            current_sum = max(num, current_sum + num)
+            max_sum = max(max_sum, current_sum)
+
+        return max_sum
+```
+
+## Step2
+- 典型コメント集: https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.qgjy53psjkn2
+
+- https://discord.com/channels/1084280443945353267/1206101582861697046/1208414507735453747
+  - > ちなみに、なんでこの問題が難しいかというと、何かをさせながら、何かをさせながら、何かをさせるからです。
+    - https://discord.com/channels/1084280443945353267/1206101582861697046/1208414507735453747
+      - Kadane法に至るまでの思考経路
+    - https://discord.com/channels/1084280443945353267/1206101582861697046/1209351966329667585
+      - 思考実験として、シフト勤務で引き継ぎ資料を残すとしたら何を残すか？
+
+- https://github.com/sakupan102/arai60-practice/pull/33
+  - Python
+  - $O(n)$ で解く方法
+    - 累積和の配列を事前に計算、`nums[j]` ~ `nums[i-1]` の区間の和は `prefix_sums[i] - prefix_sums[j]` で求める
+    - 最小累積和の配列を事前に計算。「ここまでで最も小さかった累積和」を記録し続ける
+    - 最大部分配列を探す。区間の和 = `prefix_sums[i] - min_prefix_sums[i-1]`  $(j < i)$
+    - 2次元空間への拡張といった発展問題に強いと思った
+    - 変数名から累積和であることが読み取りづらかった
+
+- https://github.com/olsen-blue/Arai60/pull/32
+  - Python
+  - > 後ろを振り返った時に、最も標高の低い地点との差を求め、その差でmax()の最大値更新を行い続ければ良い。
+    - この考え方はしっくりきた
+    - DPを意識した書き方を見て、Kadane法はDPであることに気づいた
+
+## Step3
+- Kadene法で解答
+
+```py
+class Solution:
+    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
+        current_sum = nums[0]
+        max_sum = nums[0]
+
+        for num in nums[1:]:
+            current_sum = max(num, current_sum + num)
+            max_sum = max(max_sum, current_sum)
+
+        return max_sum
+```
+- 所要時間
+  - 1回目: 1:51
+  - 2回目: 1:05
+  - 3回目: 1:10