50. Pow(x, n)

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+# 50. Pow(x, n)
+- 問題: https://leetcode.com/problems/powx-n/
+- 言語: Python
+
+- おおよそ15分以内に解答する
+
+## Step1
+- 冪乗を計算する
+- $-2^{31} <= n <= 2^{31}-1$ であるため、単純な実装 $O(n)$ だとTLE（想定通り）
+- たしかビット演算で定数時間で冪乗を計算できたはずだが、改善策が思い浮かばず正答を見る
+
+### TLEとなるコード
+```py
+class Solution:
+    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
+        result = x
+        if n == 0:
+            return 1
+
+        if n > 0:
+            for i in range(n-1):
+                result *= x
+
+        if n < 0:
+            for i in range(n*(-1)-1):
+                result *= x
+            result = 1 / result
+
+        return result
+```
+
+### 正答
+- 方針: 指数の性質を利用して計算を分解していく（「繰り返し二乗法」）
+  - $n$ が偶数の時、 $x^{n}=(x^{2})^{n/2}$
+  - $n$ が奇数の時、 $x^{n}=x \times x^{n-1}$
+  - 指数を半分にしていく
+    - 具体例: $2^{10}$ の場合
+      - $2^{10} = 2^{5} \times 2^{5}$
+      - $2^{5}  = 2 \times 2^{2} \times 2^{2}$
+      - $2^{2}  = 2^{1} \times 2^{1}$
+- 時間計算量: $O(\log n)$
+- 空間計算量: $O(1)$
+
+- $x = 0$, $n < 0$ の場合では数学的には $0$ の負の累乗、つまり $1 / 0$ になるので未定義であるから、エラーを出しても良い
+
+#### 再帰版
+```py
+class Solution:
+    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
+        def power(x: float, n: int) -> float:
+            if n == 0:
+                return 1
+
+            half = power(x, n // 2)
+
+            if n % 2 == 0:
+                return half * half
+
+            return x * half * half
+
+        if n < 0:
+            return 1 / power(x, (-1)*n)
+
+        return power(x, n)
+```
+
+#### whileループ版
+```py
+class Solution:
+    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
+        if n < 0:
+            x = 1 / x
+            n = (-1)*n
+
+        result = 1
+
+        while n > 0:
+            if n % 2 == 1:
+                result *= x
+
+            x *= x
+            n //= 2
+
+        return result
+```
+
+## Step2
+- 典型コメント集: https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.d9ky6ipkmw98
+
+- https://github.com/hroc135/leetcode/pull/43
+  - Go
+  - 今回は入力が限られているが、実用的な実装にするとエッジケースとしてかなり考慮すべきことが多いなと思った
+    - そもそも数字を受け付けないようにするか？Infの扱い、など
+    - $0^{0}$ は $1$ のほうが自然らしい
+      - cf. https://github.com/hroc135/leetcode/pull/43#discussion_r2651608999
+
+- https://github.com/TORUS0818/leetcode/pull/47
+  - Python
+  - 指数 `n` を2進数として最上位から読む。毎回 `result` を2乗する。今見ているビットが`1`なら、さらに `x` を掛ける。
+  - 元の `n`, `x`を破壊していない方がスッキリしていてわかりやすいと思った
+
+- 処理系CPythonの実装: https://github.com/python/cpython/blob/bdab67e1c795443a0d8f8a5bbeb3a91ac4fd5a19/Objects/longobject.c#L4894
+    - メインの処理
+      ```c
+      for (--i, bit >>= 1;;) {
+          for (; bit != 0; bit >>= 1) {
+              MULT(z, z, z);
+              if (bi & bit) {
+                  MULT(z, a, z);
+              }
+          }
+          if (--i < 0) {
+              break;
+          }
+          bi = b->long_value.ob_digit[i];
+          bit = (digit)1 << (PyLong_SHIFT-1);
+      }
+      ```
+- 関連知識: 浮動小数点数の仕様 IEEE 754
+
+## Step3
+- whileループ版
+```py
+class Solution:
+    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
+        if n < 0:
+            x = 1 / x
+            n = (-1)*n
+
+        result = 1
+
+        while n > 0:
+            if n % 2 == 1:
+                result *= x
+
+            x *= x
+            n //= 2
+
+        return result
+```
+- 所要時間: 
+  - 1回目: 2:39
+  - 2回目: 1:41
+  - 3回目: 1:12